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8. August 2012 / Philippe Wampfler

Gödels Unvollständigkeitssatz. Unbeantwortbare Fragen.

Dieser Auszug aus Logicomix, einem Graphic Novel, also einem Roman-Comic über die Entwicklung der Logik zeigt die Bedeutung von Gödels Erstem Unvollständigkeitssatz, mit dem er bewiesen hat, dass es in jedem System von Aussagen (wie z.B. der Logik oder der Mathematik) immer Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können, dass also solche Systeme notwendigerweise unvollständig sein müssen.

Gödels Beweis funktioniert ungefähr so (er ist zu formal und kompliziert, als dass ich ihn selber nachvollziehen könnte), dass er in einem solchen System eine selbstreferentielle Aussage konstruiert (als Beispiel: »Ich lüge jetzt gerade.«), die sowohl einen Widerspruch erzeugt, wenn sie wahr ist, als auch, wenn sie falsch ist. Dieser Aussage, der so genannte »Gödelsatz« ist dann weder beweisbar noch widerlegbar.

 

  1. Marin / Aug 8 2012 5:36 pm

    Eine grossartige (und ambitionierte) Idee für eine graphic novel. Vielen Dank fürs drauf-aufmerksam-machen.
    Im Text wird aber angedeutet, dass alle formalen Systeme unvollständig sind. Es sind dies nach Gödel sind aber nur arithmetische Systeme einer gewissen Mächtigkeit. Einfache Logiken (und viele wichtige mathematische Theorien) sind durchaus vollständig. Interessant finde ich vielmehr, dass hauptsächlich die Theorien unvollständig sind, welche Eigenschaften der natürlichen Zahlen beweisen können und damit den Hintergrund für einen Grossteil der Alltags-Mathematik bilden.

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